Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Простые и составные числа. Основная теорема арифметики». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
Составные числа отличаются от простых тем, что у них есть еще хотя бы один делитель, который не равен единице и самому числу. Простое число имеет только два делителя: единицу и само себя.
Чем отличаются от простых
С помощью нахождения делителей определяют, является ли число простым или составным. Чтобы найти делители числа, нужно разложить его на множители.
Разложить число на множители — значит, представить его в виде произведения чисел.
Множители подбирают с помощью применения признаков делимости, а также разложения числа на простые множители.
Разложение на простые множители — это математическая операция, которая представляет число в виде произведения простых множителей.
Основная теорема арифметики:
Любое составное число можно разложить на простые множители (представить в виде произведения) единственным способом.
Осталось придумать, как искать НОД и НОК. Понятно, что их можно искать перебором, но мы хотим хороший быстрый способ.
Давайте для начала научимся искать \(НОД(a, b)\).
Мы можем воспользоваться следующим равенством: \[НОД(a, b) = НОД(a, b — a), b > a\]
Оно доказывается очень просто: надо заметить, что множества общих делителей у пар \((a, b)\) и \((a, b — a)\) совпадают. Почему? Потому что если \(a\) и \(b\) делятся на \(x\), то и \(b-a\) делится на \(x\). И наоборот, если \(a\) и \(b-a\) делятся на \(x\), то и \(b\) делится на \(x\). Раз множства общих делитей совпадают, то и максимальный делитель совпадает.
Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.
Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.
Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.
Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.
Число 4 — первое наименьшее составное число.
В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.
А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.
Как доказать то, что множество простых чисел бесконечно?
Такое доказательство (одно из существующих) дал ещё Евклид, и основано оно как раз исследовании произведения всех простых чисел.
Ну ещё раз: пусть простых чисел — конечное количество, и пусть Р — произведение всех простых чисел, от первого до n-го. И рассмотрим число Р+1.
Возможны два варианта.
Либо Р+1 — простое число, но тогда мы сразу приходим к противоречию с исходным предположением о конечности множества простых чисел. Оказывается — ни фига, есть ещё одно.
Либо Р+1 — не простое число, но тогда его можно разложить на простые множители, которые, по предположению, должны быть из нашего конечного набора. Ну пусть среди таких множителей есть и число k. Коль скоро и Р делится на k (Р ведь — произведение всех-всех-всех простых чисел, включая k), и Р+1 делится на k, то на это же k должна делиться и разность двух чисел. Только вот разность эта равна 1, а 1 не может делиться ни на что, если мы собираемся оставаться в рамках целых чисел.
Значит, предположение о конечности набора простых чисел неверное. Вся любовь.
Основные свойства простых чисел
Теорема 1. Множество простых чисел бесконечно.
Докажем эту теорему.
Допустим, что множество простых чисел конечно. Элементы множества из простых чисел обозначим k1, k2, …, kn.
Тогда возьмем число k=k1∙k2∙…∙kn+1. Ни одно из чисел k1, k2, …, kn не является делителем числа k: число k при делении на каждое из этого ряда чисел дает в остатке 1.
Возьмем число q – наименьший делитель числа k, который отличен от 1. Предположим, что q – составное число. Тогда должен быть делитель числа k меньше q и отличный от 1. Значит, q – простое число и, следовательно, должно быть элементом множества k1, k2, …, kn. Однако эти числа не являются делителями k. Получилось противоречие. Таким образом, множество простых чисел бесконечно.
Имеет ли множество простых чисел предел?
О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).
При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.
Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .
Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282
Определение начинается с разложения на множители:
1729=7*13*19
282=2*3*47
Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.
Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой
Все делители числа, их нахождение
Дальнейшее изложение подразумевает хорошее владение информацией статьи делители и кратные числа. Мы будем говорить лишь о поиске всех делителей целых положительных чисел (натуральных чисел). Этого вполне достаточно, так как одно из свойств делимости утверждает, что множество делителей целого отрицательного числа −a совпадает со множеством делителей противоположного числа a (которое будет положительным). Напомним также, что число 0 имеет бесконечно много делителей, и нахождение всех делителей нуля не представляет интереса.
положительными делителями простого числа a являются лишь единица и само это число. Следовательно, любое простое число a имеет четыре делителя, среди которых два положительных и два отрицательных: 1 , −1 , a и −a . Например, число 11 – простое, оно имеет всего четыре делителя 1 , −1 , 11 и −11 . Еще пример. Число 367 тоже простое, все его делители – это числа 1 , −1 , 367 и −367 .
Интереснее проходит поиск всех делителей составных чисел. Теоретическая основа этого процесса заключается в следующей теореме.
С одной стороны, по определению делимости число a делится на любое такое число d , так как существует такое целое число q=p1 (s1−t1) ·p2 (s2−t2) ·…·pn (sn−tn) , что a=d·q .
С другой стороны, всякое число d , которое делит a , имеет указанный вид, так как в силу свойств делимости оно не может иметь других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn , а показатели этих множителей не могут превышать s1, s2, …, sn соответственно.
Из рассмотренной теоремы следует алгоритм нахождения всех положительных делителей данного числа. Чтобы найти все делители числа a нужно:
- получить его каноническое разложение на простые множители вида a=p1 s1 ·p2 s2 ·…·pn sn ;
- вычислить все значения выражения p1 t1 ·p2 t2 ·…·pn tn , в которых числа t1, t2, …, tn принимают независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1 , t2=0, 1, …, s2 , …, tn=0, 1, …, sn .
Обычно наибольшую трудность представляет именно процесс перебора всех возможных комбинаций значений чисел t1, t2, …, tn . Сейчас мы последовательно рассмотрим решения нескольких примеров нахождения всех делителей чисел, откуда будут понятны все тонкости этого процесса.
Найдите все делители числа 8 .
Получить разложение на простые множители числа 8 не составляет труда: 8=2·2·2 . В канонической форме это разложение выглядит так: 8=2 3 . То есть, в нашем случае a=8 , p1=2 , s1=3 .
Число делителей числа
Число положительных делителей данного числа a , каноническое разложение которого имеет вид a=p1 s1 ·p2 s2 ·…·pn sn , равно значению выражения (s1+1)·(s2+1)·…·(sn+1) . Величина записанного выражения дает количество всех возможных наборов переменных t1, t2, …, tn , где t1=0, 1, …, s1 , t2=0, 1, …, s2 , …, tn=0, 1, …, sn .
Приведем пример. Вычислим число натуральных делителей числа 3 900 из последнего примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Мы выяснили, что 3 900=2 2 ·3·5 2 ·13 , тогда s1=2 , s2=1 , s3=2 , s4=1 . Осталось вычислить значение выражения (s1+1)·(s2+1)·(s3+1)·(s4+1) при данных значениях s1 , s2 , s3 и s4 , которое и даст нам искомое число натуральных делителей. Получаем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36 . Следовательно, число 3 900 имеет 36 натуральных делителей. Если мы пересчитаем все делители числа 3 900 , полученные в предыдущем примере, то убедимся, что их количество действительно равно 36 . Число всех делителей (и положительных и отрицательных) числа 3 900 равно 36·2=72 , так как число 3 900 имеет 36 положительных делителей, и, следовательно, 36 отрицательных, противоположных каждому из положительных делителей.
Найдите число делителей числа 84 .
Нахождение делителей числа
В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.
Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2
6 : 2 = 3
Ещё делителем числа 6 является число 3
6 : 3 = 2
Ещё делителем числа 6 является число 1
6 : 1 = 6
Наконец, делителем числа 6 является само это число
6 : 6 = 1
Перечислим все делители числа 6
1, 2, 3, 6
Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.
Да, поскольку 18 имеет более двух факторов, то есть 1, 2, 3, 6, 9, 18. Другими словами, 18 — составное число потому что 18 имеет более двух факторов.
Что такое простые шансы и составные числа? Проще говоря, простое число можно разделить только на 1 и само на себя. За исключением числа 2, каждое простое число является нечетным числом.. Составные числа. Составное число – это любое не простое число. Натуральные числа, состоящие из более чем двух компонентов, называются составными числами.
Как 15 простое число?
Число 15 — это делится на 1, 3, 5, 15. Чтобы число было классифицировано как простое, оно должно иметь ровно два множителя. Поскольку 15 имеет более двух множителей, то есть 1, 3, 5, 15, это не простое число.
Почему 57 — не простое число? Нет, 57 не простое число. Число 57 делится на 1, 3, 19, 57.… Поскольку 57 имеет более двух делителей, то есть 1, 3, 19, 57, это не простое число.
Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3
6 : 3 = 2
Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.
Данное определение содержит переменную a. Подставим вместо этой переменной любое число, например число 5 и прочитаем определение:
Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5.
У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:
5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:
5 : 1 = 5
5 : 5 = 1
Значит, число 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет больше двух делителей. Например, число 4 составное, поскольку у него больше двух делителей: 4, 2 и 1
4 : 4 = 1
4 : 2 = 2
4 : 1 = 4
Значит, число 4 является составным числом.
Почему вы не используете квадратный корень, как все?
Почти в каждом решении из интернета есть один лайфхак: цикл перебирает множители не до самого числа, а меньше: до квадратного корня этого числа. Например, если бы мы искали простые множители числа 64, то цикл прошёл бы до числа 8.
На поверхности это выглядит круто: мы можем оптимизировать алгоритм, сделав его невозможно быстрым — ведь он будет перебирать очень небольшой объём множителей. Но конкретно в нашем алгоритме у такого хода есть нюанс.
Математическое объяснение приёма с квадратным корнем звучит так: если число можно разложить на два множителя, то оба эти множителя одновременно не могут быть больше квадратного корня этого числа. По-другому — один из множителей точно не будет больше квадратного корня. Соответственно, другой множитель может быть больше.
Проблема в том, что мы не находим множители попарно. Мы находим их один за другим. Наш алгоритм не помнит, какие множители он уже нашёл.
Например, возьмём число 77. Оно состоит из двух простых множителей: 7 и 11. Квадратный корень из 77 равен 8,77. В паре множителей 7 и 11 только один из них больше 8,77, значит, условие выполняется: оба множителя одновременно не больше квадратного корня нашего числа.
Теперь, если бы мы искали множители вручную, мы бы действительно перебирали все множители до 8,77. Мы бы нашли множитель 7, разделили бы 77 на 7 и получили бы 11. Так мы бы получили два множителя: 7 и 11. Это простые числа, нас этот результат удовлетворил бы.
Но наш алгоритм ищет множители не парами, а по одному. Если бы мы перебирали множители до 8,77, то мы бы нашли только множитель 7. Множитель 11 мы бы не нашли, ведь алгоритм остановился бы.
Поэтому конкретно с нашим алгоритм трюк с квадратным корнем не пройдёт. Но можно использовать другие оптимизации.
👉 На подумать: сейчас в алгоритме мы перебираем все числа от двойки до введённого числа, но есть способ сократить количество переборов. Попробуйте найти его самостоятельно.